March 16, 2018

Analyse 3 by Giroux A. PDF

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui believe connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce web site divers files pertinents au cours.

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Example text

Soit {yk }k∈N une suite de points de f (E). Il existe une suite {xk }k∈N de points de E telle que yk = f (xk ). Par compacit´e, cette suite contient une suite partielle qui converge vers un point de E, soit x = lim xkp . p→+∞ En posant y = f (x), on aura, par continuit´e, y = lim ykp p→+∞ et la suite donn´ee contient bien une suite partielle convergeant vers un point de f (E). D. Lorsque les conditions du th´eor`eme sont satisfaites, la fonction num´erique x → f (x) atteint son maximum et son minimum sur E.

Pour simplifier l’´ecriture, nous n’´ecrivons le raisonnement que pour le cas n = 2 et nous posons x = x1 , y = x2 . Le cas g´en´eral est similaire. Soit (x0 , y0 ) ∈ E un point quelconque. On a, en vertu du th´eor`eme des accroissements finis, ∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) − (x0 , y0 )(y − y0 ) ∂x ∂y ∂f ∂f = f (x, y) − f (x0 , y) + f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) − (x0 , y0 )(x − x0 ) − (x0 , y0 )(y − y0 ) ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ∂f = (x1 , y) − (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (x0 , y1 ) − (x0 , y0 ) (y − y0 ) ∂x ∂x ∂x ∂x f (x, y) − f (x0 , y0 ) − pour des nombres x1 entre x et x0 et y1 entre y et y0 appropri´es.

L’image de Rn par f est un sous-espace vectoriel de Rm dont la dimension est ´egale au rang de A, le nombre de vecteurs colonnes lin´eairement ind´ependants de A (c’est aussi le nombre de vecteurs lignes lin´eairement ind´ependants en vertu d’un th´eor`eme d’alg`ebre lin´eaire). Exemple. Lorsque n = m = 3, une fonction f : E → Rm est un champ de vecteurs dans E. Le champ f (x) = x x 3 est ainsi associ´e `a la gravitation newtonienne dans R3 \ {0}. Pour visualiser une transformation R2 → R2 , (x1 , x2 ) → (y1 , y2 ), on peut tracer dans le plan y1 y2 les images des droites x1 = c1 et x2 = c2 par la transformation.

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Analyse 3 by Giroux A.


by Mark
4.2

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