March 16, 2018

Download e-book for iPad: Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung by Jürgen Appell

By Jürgen Appell

ISBN-10: 3540889027

ISBN-13: 9783540889021

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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Die Menge aller auf M monotonen Funktionen bezeichnen wir mit M on(M ). y y x x Abb. 10 monoton wachsend, allerdings nicht streng monoton wachsend. 13 ist monoton wachsend, wenn M ein Intervall der Form [a, ∞) oder (a, ∞) ist, und monoton fallend, wenn M ein Intervall der Form (−∞, b] oder (−∞, b) ist. Alle anderen Funktionen aus der Beispielliste oben haben keinerlei Monotonieverhalten. Man beachte, dass eine streng monotone Funktion stets injektiv ist: Aus x1 = x2 (o. B. d. A. x1 < x2 ) folgt ja f (x1 ) < f (x2 ) oder f (x1 ) > f (x2 ), je nachdem ob f streng monoton wächst oder fällt, in jedem Fall also f (x1 ) = f (x2 ).

Eine Folge (xn )n heißt beschränkt, falls es ein c > 0 gibt derart, dass |xn | ≤ c für alle n ∈ N gilt, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall [−c, c]. Man sieht leicht, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. 26) aus dem Anhang zeigt. Allerdings kann man aus jeder beschränkten Folge (xn )n eine konvergente Teilfolge auswählen, d. h. 52 Die nächsten beiden Sätze sind von fundamentaler Bedeutung in der Analysis. 52. Sei M ⊆ R und f : M → R eine Funktion. 53 Die Menge aller auf M beschränkten Funktionen bezeichnen wir mit B(M ).

F (x) < 0] auch für x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) gilt. Beweis: Gelte o. B. d. 31 f (x0 ) > 0. Dann ist ε := f (x0 )/2 > 0, und wegen der Stetigkeit von f in x0 finden wir zu diesem ε ein δ > 0 so, dass |f (x) − f (x0 )| < ε ausfällt für |x − x0 | < δ. Aus f (x0 ) − f (x) ≤ |f (x) − f (x0 )| folgt aber f (x) − f (x0 ) ≥ −|f (x) − f (x0 )| > −ε, also f (x) = f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) > −ε + f (x0 ) = −ε + 2ε = ε > 0 , und dies war gerade die Behauptung. Im Falle f (x0 ) < 0 ersetzen wir f durch die Funktion −f und benutzen das soeben Bewiesene.

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by Daniel
4.5

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